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By Charles Audet, Pierre Hansen, Brigitte Jaumard

We current a department and minimize set of rules that yields in finite time, a globally ☼-optimal resolution (with recognize to feasibility and optimality) of the nonconvex quadratically restricted quadratic programming challenge. the assumption is to estimate all quadratic phrases by way of successive linearizations inside of a branching tree utilizing Reformulation-Linearization options (RLT). to take action, 4 periods of linearizations (cuts), counting on one to 3 parameters, are distinctive. for every category, we convey easy methods to choose the easiest member with admire to an actual criterion. The cuts brought at any node of the tree are legitimate within the entire tree, and never in simple terms in the subtree rooted at that node. on the way to improve the computational velocity, the constitution created at any node of the tree is versatile adequate for use at different nodes. Computational effects are suggested that come with common try difficulties taken from the literature. a few of these difficulties are solved for the 1st time with an evidence of worldwide optimality.

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Example text

Sei ferner G ein maximaler einfacher Teilgraph von G; offensichtlich ist G auch 2-fach zusammenh¨angend. Somit kann G kein Baum sein, d. h. G enth¨alt einen Kreis. Da G einfach ist, enth¨alt G und damit auch G einen Kreis mit Mindestl¨ange drei. Also sei H ein maximaler Teilgraph von G mit echter Ohrenzerlegung; ein ¨ solches H gibt es nach obiger Uberlegung. Angenommen, H w¨are nicht aufspannend. Da G zusammenh¨angend ist, wissen wir dann, dass es eine Kante e = {x, y} ∈ E(G) mit x ∈ V (H ) und y ∈ / V (H ) gibt.

F¨ur einen unzusammenh¨angenden Graphen sind der Knoten- und Kantenzusammenhang beide Null. Die Bl¨ocke eines ungerichteten Graphen sind die maximalen zusammenh¨angenden Teilgraphen ohne Artikulationsknoten. Es ist somit jeder Block entweder ein maximaler 2-fach zusammenh¨angender Teilgraph oder eine Br¨ucke oder ein isolierter Knoten. Zwei Bl¨ocke haben h¨ochstens einen gemeinsamen Knoten, und ferner ist ein zu mehr als einem Block geh¨orender Knoten ein Artikulationsknoten. Die Bl¨ocke eines ungerichteten Graphen k¨onnen in linearer Zeit mit einem ¨ S TARKE Z USAM Algorithmus bestimmt werden, der dem A LGORITHMUS F UR MENHANGSKOMPONENTEN recht a¨ hnlich ist, siehe Aufgabe 17.

K} mit der Eigenschaft, dass e und vi in derselben Zusammenhangskomponente von G liegen. Nach der Induktionsvoraussetzung folgt dann, e geh¨ort zu Wi . Also ist der in 5 erstellte geschlossene Spaziergang W tats¨achlich eulersch. Die Laufzeit ist linear, weil jede Kante sofort nach ihrer Bearbeitung gel¨oscht wird. E ULERS A LGORITHMUS wird einige Male in sp¨ateren Kapiteln als Subroutine benutzt. Manchmal m¨ochte man einen gegebenen Graphen durch Hinzuf¨ugen oder Kontraktion von Kanten eulersch machen.

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