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By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie l. a. profondeur de los angeles th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications suitable de domaines aussi diff?rents que los angeles belief de circuits VLSI, los angeles notion et los angeles planification de r?seaux, l'ordonnancement, l. a. th?orie des jeux, l. a. biologie ou l. a. th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette state of affairs, un grand nombre d'algorithmes proposant des recommendations approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre reveal ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Example text

Dk . 7 L’algorithme du mille-feuille est une 2-approximation pour le probl`eme de la couverture par sommets munis de poids arbitraires. Preuve : Nous devons d´emontrer que C est une couverture par sommets de G et que w(C) 2 · OPT. Supposons, par l’absurde, que C ne couvre pas G. Il existe alors i j et une arˆete uv telle que u ∈ Di et v ∈ Dj . Alors, l’arˆete uv est pr´esente dans le graphe Gi , ce qui contredit que u soit de degr´e nul. Soit C ∗ une couverture par sommets optimale. Consid´erons tout d’abord un sommet v ∈ C.

14 (MAX k-CUT) Etant donn´e un graphe non orient´e G = (V, E) muni d’une fonction de coˆ ut positive sur les arˆetes et un entier k, trouver une partition de V en k sous-ensembles S1 , . . , Sk tels que le coˆ ut total des arˆetes entre ces ensembles soit maximal. Donnez un algorithme glouton pour ce probl`eme qui soit une (1 − k1 )approximation. L’analyse de votre algorithme est-elle au plus pr`es ? 4 Donnez un algorithme glouton pour le probl`eme suivant qui soit une 1/4-approximation. 15 (Coupe maximum orient´ ee)7 Etant orient´e G = (V, E) muni d’une fonction de coˆ ut positive sur les arcs, trouver un sous-ensemble S ⊂ V tel qu’il maximise le coˆ ut total des arcs qui sortent de S, c’est-`a-dire u∈S,v∈S coˆ ut(u → v).

On a : A = i=1 Ai . Puisque chaque arˆete de A est incidente `a deux de ces composantes, chaque arˆete est incluse dans exactement deux coupes Ai . Ainsi, k w(Ai ) = 2w(A). i=1 Chaque Ai est clairement une coupe s´eparatrice pour si . Puisque Ci est une coupe s´eparatrice pour si de poids minimum, w(Ci ) w(Ai ). Remarquons qu’on obtient donc une 2-approximation en prenant l’union des k coupes Ci . Or, puisque C est obtenue en ´eliminant la coupe la plus lourde des Ci , w(C) 6 1− 1 k k w(Ci ) i=1 Isolating cut, en anglais.

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