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By Herbert Wallner

Der zweite Teil dieser Aufgabensammlung umfasst einen großen Vorrat an Beispielen aus research mehrerer Variablen, Vektoranalysis, Gewöhnlichen Differentialgleichungen und Integraltransformationen. Wie bei Band 1 werden für jedes Teilgebiet zunächst die zum Bearbeiten der nachfolgenden Aufgaben erforderlichen Grundlagen kurz zusammengefasst und anschließend jeweils eine Reihe speziell ausgewählter Beispiele ausführlich gelöst. In einem weiteren Abschnitt werden Aufgaben mit Lösungen angegeben. In einem abschließenden Kapitel behandelt der Autor Aufgabenstellungen aus Technik und Physik.

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Dieses Gleichungssystem besitzt die L¨osung x = y = 2(1 + a) a a Ob im Punkt P , ein Extremum vorliegt, folgt aus der hin2(1 + a) 2(1 + a) 2 = 4(a2 − 1). Damit gilt: reichenden Bedingung. Es ist Δ = fxx fyy − fxy a) F¨ ur a < −1 existiert ein relatives Maximum bei (x0 , y0 ) = a a , . 2(a + 1) 2(a + 1) b) F¨ ur a > 1 existiert ein relatives Minimum bei (x0 , y0 ) = a a , 2(a + 1) 2(a + 1) . c) F¨ ur −1 < a < 1 hat f keine relativen Extrema. 10. Sei f (x, y) := (y − x2 )(y − 2x2 ) f¨ ur alle x, y ∈ lR.

Einem Kreis mit Radius R ist ein Dreieck maximaler Fl¨ache einzuschreiben. Bestimmen Sie die Seitenl¨ √angen. L¨osung: a = b = c = 3 R. 10. Ermitteln Sie die absoluten Extrema der Funktion f (x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. x + 4y − 1 a) f (x, y) = √ , g(x, y) = x2 + 4y 2 − 15. 1 + x2 + 4y 2 b) f (x, y, z) = 12x2 + 4y 2 − 2z 2 − 8yz, g(x, y, z) = 2x2 + y 2 + z 2 − 5. L¨osungen: √ √ √ √ a) Absolutes Maximum bei P1 ( 3, 3) und absolutes Minimum bei P2 (− 3, − 3). b) Absolute Minima bei P1,2 (0, ±1, ±2), absolute Maxima auf der Ellipse 2x2 + 5z 2 = 5, y = −2z.

L¨osung: ∞ (−1)n n x x2 x(y − 1) f (x, y) = −5 − − 10(y − 1) + − − 5(y − 1)2 + x + 2 2 4 n n=3 ∞ (−1)n (y − 1)n . +x 2n n=3 f (x, y) = x − y + x2 − y 2 + 7. Entwickeln Sie die Funktion f (x, y) = xey + cos(x + y) + ln(2 + xy) nach dem TAYLOR’schen Satz um den Punkt (1, −1) bis zu einschließlich Gliedern zweiter Ordnung (ohne Restglied). L¨osung: e+1 e−1 e+1 − (x − 1) + (y + 1) − (x − 1)2 + e e e e+1 2e − 1 = (x − 1)(y + 1) − (y + 1)2 + · · · . e 2e f (x, y) = 8. Ermitteln Sie f¨ ur die Funktion f (x, y) = xy+1 das TAYLOR-Polynom T2 um den Punkt P (1, 0).

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